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紧集

证明: 我们将证明集合S包含一个最大数。证明该集合包含一个最小数的方法是类似的。证明用到了有关实数集R的如下事实：如果一个非空的实数集有上界，那么它有最小上界(实数集S的上界是一个数b，对所有的
有
)。也就是说，存在一个数，称为LUB或者S的上确界(sup)，使得如果b是S的任意上界，有b≥sup(S)。假设
是非空(
)的紧集。由于紧集是有界的，因而S有一个最小上界比如说
。首先假设
，那么
是S中的最大数，否则就不是S的一个上界。接下来假设
。我们将证明
是S中点序列的极限，并且，由于S是闭集，因而
一定在S中。这与
的假设相矛盾。对每一个
，存在一个
使得
，否则S将有一个小于
的上界。于是
，正如我们所要证明的。 [1]
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